求积分
\[\int e^x\cos x\mathrm dx\]该问题其实在大一的高等数学课上就已经接触过，但囿于笔者记性不好，这里重新记录一下解法。
事实上，我们对问题进行扩展，也就是求积分
\[\int e^{ax}\cos(bx)\mathrm dx\]这里$\cos$函数可以替换成$\sin x$，做法类似。
利用两次分部积分，求出上式：
\[\begin{aligned} \int e^{ax}\cos(bx)\mathrm dx &=\frac1a\int\cos(bx)\mathrm de^{ax}\\ &=\frac1ae^{ax}\cos(bx)-\frac1a\int e^{ax}\mathrm d\cos(bx)\\ &=\frac1ae^{ax}\cos(bx)+\frac ba\int e^{ax}\sin(bx)\mathrm dx\\ &=\frac1ae^{ax}\cos(bx)+\frac b{a^2}\int\sin(bx)\mathrm de^{ax}\\ &=\frac1ae^{ax}\cos(bx)+\frac b{a^2}e^{ax}\sin(bx)-\frac{b^2}{a^2}\int e^{ax}\cos(bx)\mathrm dx\\ (1+\dfrac{b^2}{a^2})\int e^{ax}\cos(bx)\mathrm dx&=\frac{e^{ax}}{a^2}(a\cos(bx)+b\sin (bx))\\ \int e^{ax}\cos(bx)\mathrm dx&=\dfrac{e^{ax}(a\cos(bx)+b\sin (bx))}{a^2+b^2}+C \end{aligned}\]我们思考什么样的函数求导后是$e^{ax}\cos(bx)$的形式，考虑$e^xf(x)$求导的特性，我们得知形如
\[f(x)=e^{ax}(m\cos bx+n\sin bx)\]的函数，才有可能求导出目标形式，我们只需要求导，然后求出未知参数$m,n$即可:
\[\begin{aligned} f'(x) &=e^{ax}(am\cos bx+an\sin bx-bm\sin bx+bn\cos bx)\\ &=e^{ax}((am+bn)\cos bx+(an-bm)\sin bx)\\ &=e^{ax}\cos bx \end{aligned}\]从而有
\[\begin{cases} am+bn=1\\ an-bm=0\\ \end{cases}\]解得
\[\begin{cases} m=\dfrac{a}{a^2+b^2}\\ n=\dfrac{b}{a^2+b^2} \end{cases}\]从而原函数为
\[f(x)=\frac{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)}{a^2+b^2}+C\]考虑欧拉公式
\[e^{jt}=\cos t+j\sin t\]我们有
\[\cos bx=\frac{e^{jbx}+e^{-jbx}}{2}\]从而问题变成了简单的指数积分:
\[\begin{aligned} \int e^{ax}\cos bx\mathrm dx &=\frac12\int e^{ax}(e^{jbx}+e^{-jbx})\mathrm dx\\ &=\frac{1}{2}\bigg(\frac{e^{(a+jb)x}}{a+jb}+\frac{e^{(a-jb)x}}{a-jb}\bigg)+C\\ &=\frac{e^{ax}}2\frac{2a\cos ax+2b\sin bx}{a^2+b^2}+C\\ &=\frac{e^{ax}(a\cos ax+b\sin bx)}{a^2+b^2}+C\\ \end{aligned}\]三种解法的结果相同。上式其实在第二行时已经求解完成了，后面只是将其转换成实值形式，以和前面进行比较。笔者比较推荐的是第三种解法，尤其是在求定积分的时候，因为避免了三角函数运算，提高了计算效率。
